http://csokavar.hu/blog/2009/09/18/bolgar-lotto/#comment-1140

Úgy értem, ezen már nem lepődünk meg annyira. :-)

Egyébként köszönettel tartozom neked, mert nem ártott, hogy felelevenítetted ezt a tudást. Ugyanis én hajlamos vagyok elfeledkezni a mintavételezés mikéntjének fontosságáról. :-)

Ha szembejönnek a kétgyerekes szülők az utcán, és közülük azokat vizsgálom, akik igennel válaszolnak a “van-e kedden született fiad?” kérdésre, más összetételű mintát kapok, mintha a szülők egy gyerekükkel együtt érkeznének, és csak azokat vizsgálnám, akiknél a gyerek véletlenül épp egy kedden született fiú.

Szóval, valóban nem egyenlő a bal és a jobb oldal, mert el tetszett baszarintani három helyen is. De ha ez megnyugtat, én is néztem egy jó ideig, hogy mi a baj, és már majdnem megtörtem. :-)

Szóval felteszem, hogy a képlet végén lévő P($nap született) valójában P(van fia aki $nap született), csak spóroltál a tintával. ;-) Ez viszont nem 1/7, hanem (0+1*7+7*1+(1*7+6*1))/(4*(7*7))=27/196. (Első hiba.)

A jobb oldal így 7*(13/27)*(27/196)=13/28 lesz. Sajnos azonban még így sem egyenlő a két oldal.

A következő probléma ugyanis a szummán belüli résszel van, amit így is lehet írni:

P(másik fiú ÉS van fia aki $nap született)

A probléma egészen konkrétan az, hogy a “másik fiú ÉS van fia aki $nap született” események nem diszjunktak. (Második hiba.) Pl. vegyünk két fiút, akik közül az egyik kedden született, a másik szerdán. Ekkor ezek benne vannak a “másik fiú ÉS van fia aki kedden született” ill. a “másik fiú ÉS van fia aki szerdán született” eseményben is.

Igazából át se kell írni a szummán belüli részt, már úgy is látszik, hogy baj van, hiszen a “van fia aki $nap született” események sem diszjunktak. Mert ugye hasonlóan az előzőhöz vegyünk két fiút, akik közül az egyik kedden született, a másik szerdán. Ekkor ezek benne vannak a “van fia aki kedden született” ill. “van fia aki szerdán született” eseményben is.

Tehát a szumma miatt az összes eltérő napon született fiú-fiú párt kétszer számoltuk az egészséges egy helyett. Ezekből összesen 6*7=42 darab van. Tehát azt a valószínűséget, hogy két tetszőleges nemű gyerekből mindkettő fiú és eltérő napon születtek, le kell vonni a jobb oldali részből, így kompenzálva a felesleget: 13/28-42/(4*(7*7))=1/4.

Ez persze még mindig nem egyharmad, és nem is lehet az. A bal oldalon ugyanis nem a P(másik gyereke fiú | van fia)=1/3 értéket kell várni, hanem a P(másik gyereke fiú | van fia)*P(van fia)=(1/3)*(3/4)=1/4. (Harmadik hiba.)

Részletesebben kifejtve, ha B_i események diszjunktak és B a B_i események uniója, akkor:
sum(P(A|B_i)*P(B_i))=sum(P(A és B_i))=P(A és B)=P(A|B)*P(B)

Szóval, hosszas masszírozás után már minden klappol, és újra hihetünk a valószínűségszámításban. :-)

http://csokavar.hu/files/Capture1.png

A kettő nagyon nem egyenlő…

A január 31. esetén az év egyetlen napja áll szemben az összessel, amit 365-nek vehetünk az egyszerűség kedvéért (szökőévekkel nem foglalkozunk, épp ezért a február végével sem :-) ). Tehát:

FL: 1*365=365 eset
LF: 365*1=365 eset
FF 1*365+364*1=729 eset

A valószínűség így 729/(365+365+729), ami kb. 0.499657.

Érezhetően 50%-hoz konvergál, ahogy egyre valószínűtlenebb dolgokat teszünk fel róla. És tényleg (vonjuk össze az FL és LF eseteket -> [FL]):

[FL]: 1*n+n*1=2n eset
FF 1*n+(n-1)*1=2n-1 eset

Így a valószínűség: (2n-1)/(n+n+2n-1)=(2n-1)/(4n-1), ami 1/2-hez tart, ha “n” tart a végtelenhez. Tehát 1/3-ról indulva tetszőlegesen megközelíthetjük az 1/2-et, soha el nem érve azt. Informálisan tekintve a dolgot, ezt az “utat” az [FL] és FF esetek asszimmetriájának, egymástól 1-gyel eltérő számának köszönhetjük.

FL: 1*7=7 eset
LF: 7*1=7 eset
FF 1*7+6*1=13 eset (nem pedig 14, mert ugye a kedd-kedd esetet nem számoljuk kétszer ;-) )

Tehát, itt a “primitív” esetek, amiknek egyforma a valószínűségük: egy adott nemű gyerek a hét egy adott napján született. Összesen tehát 7+7+13=27 ilyen eset van a feladat alapfeltételei szerint. Ezekből azok az esetek, amikor a másik is fiú, pontosan az FF csoportban lévő 13 eset. Tehát annak a valószínűsége, hogy a másik is fiú: 13/27, ami kb. 0.481.

http://sciencenews.org/view/generic/id/60598/title/When_intuition_and_math_probably_look_wrong